什么是期望值？

期望值是一个统计学概念，它代表一个随机变量在所有可能取值下的平均值，加权以其发生概率。换句话说，期望值衡量一个随机变量在长期内取值的平均趋势。

期望值公式

对于离散随机变量 X，其期望值 E(X) 的公式为：

E(X) = Σ(x P(x))

其中：

• x 是 X 的可能取值
• P(x) 是 x 发生的概率

对于连续随机变量 X，其期望值 E(X) 的公式为：

E(X) = ∫(x f(x)) dx

其中：

• f(x) 是 X 的概率密度函数

期望值的含义

期望值提供了一个随机变量的平均取值信息。它衡量了在多次重复试验中，随机变量的平均结果。

期望值的应用

期望值在各个领域都有广泛的应用，包括：

• 概率论：预测随机事件的平均结果
• 统计学：估计总体参数
• 金融：评估投资风险和回报
• 计算游戏的公平性
• 决策理论：比较不同选择方案的期望收益

示例

假设我们掷一枚均匀的骰子。骰子有六个面，每个面都有相同的出现概率（1/6）。

离散随机变量：掷出的点数

可能取值： 1, 2, 3, 4, 5, 6

概率分布： P(x) = 1/6，对于所有 x

使用期望值公式，我们可以计算骰子的期望值：

E(X) = 1 (1/6) + 2 (1/6) + 3 (1/6) + 4 (1/6) + 5 (1/6) + 6 (1/6)

= 3.5

在多次重复掷骰子的试验中，点数的平均值为 3.5。

连续随机变量：

假设我们测量一个正态分布的人口身高。正态分布的概率密度函数为：

f(x) = (1 / (σ √(2π))) e^(-(x - μ)² / (2σ²))

其中：

• μ 是平均值
• σ 是标准差

使用期望值公式，我们可以计算人口身高的期望值：

E(X) = ∫(-∞ to ∞) x (1 / (σ √(2π))) e^(-(x - μ)² / (2σ²)) dx

= μ

正态分布的期望值等于其平均值。

期望值是一个关键的统计学概念，它提供了随机变量平均取值的信息。它在概率论、统计学和其他领域都有广泛的应用。理解期望值对于了解随机事件和做出明智的决策至关重要。